?

Log in

No account? Create an account

Предыдущая запись | Следующая запись

#тестзадачиквантика
Публикуем решения мартовских тест-задачек «Квантика»!

По итогам конкурса победителем стал Алексей Дацковский. Поздравляем! Остальным участникам конкурса желаем удачи в решении апрельских задач :)

Скачать решения: https://yadi.sk/i/2c_VJaqJ3GieKv

1. «Остров Невезения»
На острове Невезения живут 250 человек, причем некоторые из них всегда лгут, а остальные всегда говорят правду. Каждый житель острова поклоняется одному из богов – богу Солнца, богу Луны или богу Земли. Каждому жителю острова задали три вопроса:
1. Поклоняетесь ли Вы богу Солнца?
2. Поклоняетесь ли Вы богу Луны?
3. Поклоняетесь ли Вы богу Земли?
На первый вопрос утвердительно ответили 140 человек, на второй – 120 человек и на третий – 110 человек. Сколько лжецов на острове?

Решение:
Пусть на острове всего х лжецов. Заметим, что лжец ответит “да” ровно на два вопроса из трёх, а правдолюб ответит “да” лишь на один вопрос из трёх. Поэтому общее число ответов “да”, равно 2x + (250 - x) = 250 + x. C другой стороны, по условию, общее число ответов “да” равно 140 + 120 + 110 = 370. Отсюда, получаем 250 + x = 370, то есть x = 120.
Ответ: на острове 120 лжецов.

2. «Разрезание на одинаковые треугольники»
Вася разрезал равносторонний шестиугольник на одинаковые треугольники. Какое наименьшее количество треугольников могло у него получиться?

Решение:
В этой задаче очень важно внимательно прочитать условие! У равностороннего шестиугольника все стороны равны, а углы при этом могут быть и не равны. Не нужно путать равносторонний шестиугольник с правильным шестиугольником, у которого все стороны равны и все углы равны. Нужный нам равносторонний шестиугольник легко получить из двух одинаковых равнобедренных прямоугольных треугольников, сложив их так, как показано на рисунке ниже. Возьмём квадрат со стороной 1, разрежем его диагональю на 2 равных треугольника и сместим один из треугольников вдоль диагонали квадрата на расстояние 1. Мы получили равносторонний невыпуклый шестиугольник, который можно разрезать лишь на 2 одинаковых треугольника!
Ответ: 2.

3. «Авиалинии»
В некотором государстве система авиалиний устроена таким образом, что любой город соединён авиалиниями не более, чем с тремя другими, и из любого города в любой другой можно долететь, сделав не более одной пересадки. Какое наибольшее число городов может быть в этом государстве?

Решение:
Из любого города A можно добраться не более чем до трёх городов, а из каждого из них не более, чем до двух (не считая A). Таким образом, всего городов не более 1 + 3 + 3·2 = 10. Пример на рисунке ниже показывает, что нужная система авиалиний в государстве с 10 городами существует (ребра графа на рисунке соответствуют авиалиниям).

4. «Котлетный сюрприз»
Вася купил пачку замороженных котлет «Сюрприз». Котлеты одинаковые круглые, а их диаметр лишь в два раза меньше диаметра сковородки. Однако через несколько минут две котлеты на сковородке ужарились, сохранив круглую форму (лёд растаял,и вода выпарилась), и Вася смог дополнительно поместить на сковородку две оставшиеся котлеты из пачки. Какую часть котлет (как минимум) составлял лёд?

Решение:
Чтобы найти, какую часть котлеты минимум составлял лёд, найдём максимальный возможный радиус ужаренной котлеты. Такая котлета должна касаться сковородки и нерастаявших котлет, как на рисунке.
Примем радиус сковороды за 1, её центр обозначим через O. Пусть A – центр нерастаявшей котлеты, B и x – соответственно центр и радиус одной из ужаренных котлет, C – точка касания этой ужаренной котлеты со сковородой. Тогда OB = 1 – x и AB = x + ½ . Так как картинка симметричная, то угол AOB прямой. По теореме Пифагора в треугольнике ABO: (x + ½)² = (1 – x)² + (1/2)². Откуда x = 1/3. Получается, что радиус ужаренной котлеты составляет 2/3 от радиуса нерастаявшей (был радиус 1/2, а стал 1/3). Так как площадь круга пропорциональна квадрату его радиуса, то площадь ужаренной котлеты составляет (2/3)² площади нерастаявшей. Значит, по крайней мере 1 – (2/3)² = 5/9 объема котлеты (или примерно 55%) составлял лёд.

Облако тэгов:

Календарь

April 2018
S M T W T F S
1234567
891011121314
15161718192021
22232425262728
2930     
Powered by LiveJournal.com
Designed by Tiffany Chow