?

Log in

No account? Create an account

Предыдущая запись | Следующая запись

А между прочим, в прошлых выпусках тоже были интересные статьи. Например, вы сумеете извлечь квадратный корень без всякой электроники, "на кончике пера"?



Такие арифметические действия, как сложение, вычитание, умножение и деление, вы наверняка уже давно освоили и при желании можете провести их без помощи калькулятора. Однако, в арсенале мaтематика есть ещё несколько операций с числами. Об одной из них — о квадратном корне — и пойдёт речь в этой статье.

По определению, арифметическим квадратным корнем из числа x называется такое положительное число y, что yy=y2=x (говорят, что <<y в квадрате равен x>>). Обозначают это так: y=x. Вычислить корень (или, как говорят, извлечь корень) из некоторых чисел легко, вспомнив таблицу умножения: 4=2, 9=3 и так далее.

Квадратный корень удобно представлять себе следующим образом. Пусть есть квадрат с площадью a квадратных см, тогда его сторона равна a см. И правда, ведь если сторона квадрата a см, то его площадь будет равна aa=a квадратных см. Поскольку у большего квадрата и сторона длиннее, то сразу получаем очень важный для нас факт:

если a>b, то a>b.


Рассмотрим четыре рядом стоящих одинаковых квадратика со стороной 1 (1 см, 1 дюйм, 1 м — это всё равно).

sq

Очевидно, что синяя фигура — квадрат. Его площадь равна половине площади большого квадрата, то есть 4/2=2. Если сторона заштрихованного квадрата y, то yy=2, значит y=2.

Калькулятор говорит, что 2=1.41421356. Многоточие означает, что цифры после запятой продолжаются до бесконечности. Как же калькулятор мог получить этот ответ? Сейчас расскажу.

Основная идея состоит в том, чтобы зажать 2 между числом, меньшим его, и числом, большим его (то есть поместить его в <<загон>>), а потом постепенно этот <<загон>> сужать. Так как 1<2<4, мы можем утверждать, что 1<2<2. Для сужения <<загона>> воспользуемся методом деления пополам (или, научно говоря, дихотомией). А именно, разделим отрезок между 1 и 2 пополам — получим два возможных <<загона>> 1,1.5 и 1.5,2. Искомый 2 будет находиться в одном из них. Так как 1.52=2.25>2, то 1<2<1.5; значит, 2 лежит в <<загоне>> 1,1.5 Снова поделим отрезок пополам — получим два возможных <<загона>>: 1,1.25 и 1.25,1.5. Потом выясним, в какой из половин лежит 2 (так же как и в прошлый раз, сравнив 1.252 и 2). И так далее… Будем всё ближе подбираться к 2.

alg-2

Получаем I инструкцию по вычислению 2:

  1. Пусть мы уже знаем, что 2 находится в <<загоне>> a,b;

  2. Находим его середину a+b2 — она будет одним из концов нового <<загона>>;

  3. Если a+b22>2, то новым <<загоном>> будет a,a+b2, а если же неравенство в другую сторону, то — a+b2,b.

  4. Если <<загон>> все ещё кажется слишком широким, идём к пункту 1. Иначе выдаём в качестве ответа середину <<загона>>.



Способ вычисления 2 вроде бы придумали. Но когда мы примерно вычисляем что-либо, нас всегда интересует, а
насколько сильно мы можем ошибаться? Только что мы подсчитали, что 1<2<1.5. А это означает, что если мы скажем, что 2=1.25, то ошибёмся не более, чем на 0.25. В таком случае 1.25 называют приближенным значением, а 0.25погрешностью. Чем меньше погрешность, тем точнее вычисления. Сколько же раз надо проделать деление пополам (будем называть его шагом), чтобы погрешность стала меньше, например, одной сотой? Заметим, что погрешность равна попросту половине длины <<загона>>. А эта длина, в свою очередь, каждый раз уменьшается вдвое. Пусть мы проделали n шагов. Тогда погрешность будет равна 121212 (произведение n+1 дроби). Чтобы это число стало меньше одной сотой, достаточно взять n=6.

На самом деле количество шагов можно сильно уменьшить. Пусть есть два числа a>2 и b>2. Тогда ab>22=2. Если же a<2 и b<2, то ab<22=2 (см. рисунок справа). Значит, если произведение двух разных чисел равно 2, то одно из них больше 2, а другое меньше. Иными словами, если x>2, то 2x<2. И наоборот: если x<2, то 2x>2. Короче это можно сказать так:

2 всегда лежит между x и 2x.

Именно на этом соображении и будет основана модификация нашего способа.

Теперь, выяснив, что 2 лежит либо в 1,1.5, либо в 1.5,2, можно не возводить 1.5 в квадрат, а сразу сузить <<загон>> для 2 ещё сильнее: сказать, что 2 находится между 1.5 и 21.5. При этом мы пока даже не знаем, какое из этих двух чисел больше! Но это, конечно, легко выяснить: 2:1.5=2:32=43=1.333. Продолжим: у нас есть <<загон>> 1.333,1.5. Так же, как и раньше, находим его середину: 1232+43=1712=1.4166. Аналогично предыдущему шагу, можем заключить, что 2 находится между 1712 и 21712=2417=1.411764. Получили новый <<загон>> 2417,1712. Его длина равна 1712-2417=0.0049. И вот уже на втором шаге мы получаем погрешность меньше одной сотой!

alg-1

Получаем II инструкцию по вычислению 2:

  1. Пусть мы уже знаем, что 2 находится в <<загоне>> a,b;

  2. Находим его середину a+b2 (как и в старом способе) — она будет одним из концов нового загона;

  3. Так как 2 находится между a+b2 и 2a+b2=4a+b, объявляем новым <<загоном>> отрезок между a+b2 и 4a+b;

  4. Если погрешность нас устраивает, выдаём в качестве ответа середину <<загона>>. Погрешность же будет равна половине длины <<загона>>. Если погрешность все ещё слишком большая — идём к пункту 1.


Теперь вы знаете достаточно, чтобы выполнить
Упражнение. Найдите 3 и 5 с погрешностью меньше одной сотой.

Когда вы решите его, сразу поймёте, что теперь можете извлечь квадратный корень почти из чего угодно. Кроме, пожалуй, отрицательных чисел. Но это уже совсем другая история…

Облако тэгов:

Comments

( 7 комментов — Оставить коммент )
kvantik12
Oct. 8th, 2012 04:54 pm (UTC)
Увы, математические символы плохо отображаются в Google Chrome. Мы работаем над этим =)
alien3
Oct. 9th, 2012 05:18 am (UTC)
Обычно формулы в ЖЖ в виде картинок выкладывают.
0507033
Oct. 9th, 2012 05:38 pm (UTC)
Видимо, придется так и поступать. Правда, такое количество картинок очень неудобно выкладывать, а автоматизировать этот процесс пока не получается.
janemouse
Oct. 10th, 2012 06:42 am (UTC)
опечатка маленькая:

квадратика со стороной 1 (1 см, 1 дюйм, 1 см — это всё равно).

наверное, должно быть 1 см, 1 дюйм, 1 метр?
kvantik12
Oct. 10th, 2012 10:03 am (UTC)
Спасибо, поправили :)
gdt
Oct. 19th, 2012 04:59 pm (UTC)
Второй способ можно объяснить нагляднее (хотя ваш, возможно, методически правильнее). Пусть есть квадрат со стороной x площади x^2. "Сплющим" его, т.е. превратим в прямоугольник той же площади со сторонами a и b. Очевидно, одна сторона, меньше x, другая больше x, при этом ab=x^2, например, a=1, b=x^2. Теперь будем потихонечку возвращаться к первоначальному квадрату: построим новый прямоугольник той же площади со стороной a_1=(a+b)/2 и b_1=x^2/а_1 и т.д.
kvantik12
Oct. 19th, 2012 07:26 pm (UTC)
Да, так и вправду очень наглядно, но в первую очередь хотелось добиться естественности конструкции. Мотивировок для работы с геометрическим представлениями много было у древних греков; у нас же, кажется, числа привыкли представлять на числовой прямой. Впрочем, на вкус и цвет...

Кстати, признаться, мне наиболее наглядным до сих пор кажется способ рисования ломаных приближения к точке пересечения графиков y=f(x) и y=x.
( 7 комментов — Оставить коммент )

Календарь

August 2018
S M T W T F S
   1234
567891011
12131415161718
19202122232425
262728293031 
Powered by LiveJournal.com
Designed by Tiffany Chow