Мудрецы и колпаки

В столице Страны Наук ежегодно проходит турнир мудрецов, на котором победители получают почётное звание «Мудрец года». Мало кому из посторонних удаё­тся пробраться на это соревнование. Но Квантик, преодолев все преграды, сумел это сделать. Вернувшись, он сразу же решил рассказать нашим читателям о задачах, которые пришлось решать участникам.

Участников разбили на пары, Верховный судья объявил задание и дал минуту на его обдумывание, предупредив, что после этого всем строго-настрого будет запрещено не только общаться друг с другом, но даже обмениваться жестами. Потом мудрецам надели на головы синие и красные колпаки, так что каждый мог видеть только цвет колпака напарника, а цвет своего колпака был ему неизвестен. Задание было такое: угадать цвет своего колпака. Каждый мудрец пытался это сделать, записывал ответ на листе бумаги и передавал Верховному судье. Если в паре ответ был верным хотя бы у одного мудреца, оба проходили во второй тур. Но оба конкурсанта выбывали, если ни один из них не справлялся с задачей.

Квантик недоумевал – что за странное соревнование? Ведь ничего лучшего, чем слепое угадывание, не придумаешь, а значит, вся твоя мудрость бесполезна. Ну и что с того, что ты видишь цвет колпака соседа? Свой-то ты всё равно не знаешь, и подсказать его тебе никто не может.

Первые две пары, как и ожидалось, проиграли – им не удалось ответить правильно. А вот третья пара мудрецов уже справилась с заданием. Сначала им обоим надели два синих колпака, и один из них отгадал цвет своего. Тогда их решили проверить ещё раз. Им надели колпаки разных цветов, и тут уже второй из них спас свою команду. Недоверчивый Верховный судья потребовал трижды повторить задание, и каждый раз в этой паре кто-то угадывал. После окончания тура изумлённый Квантик подошёл к выигравшим участникам. Он очень хотел понять, как им это удалось. Мудрецы охотно открыли свой секрет, и всё оказалось очень просто.

Не торопитесь читать ответ! Может быть, вам и самим удастся додуматься до него?

За минуту, отведённую на обсуждение, они успели придумать такой план. Первый мудрец всегда будет называть тот цвет, который он видит на своём напарнике. А второй – наоборот: цвет, про­тивоположный тому, что он видит. И тогда если на них будут надеты колпаки одного цвета, то спасти положение удастся первому мудрецу, а если разного, то команду выручит её второй участник.

В следующем туре всех мудрецов разбили на группы по 10 человек. Им снова объяснили задание и дали минуту посовещаться. Затем каждую группу выстроили в шеренгу таким образом, чтобы каждый мудрец видел только стоящих впереди себя, но не имел возможности видеть тех, кто стоял за ним. Каждому мудрецу опять надели по колпаку – синему или красному. После этого мудрецы по очереди, начиная с последнего, должны были назвать цвет своего колпака. Мудрецам объявляли об их ошибках только после того, как все в команде давали ответ. Команда проходила в следующий тур, если её участники допустили не более одной ошибки. Казалось, что выполнить это задание невозможно: ведь нужно, чтобы почти все члены команды каким-то магическим образом угадали свои цвета. Но одна команда всё-таки сумела пройти в третий тур. Наш Квантик, будучи от природы любознательным, поспешил раскрыть секрет успеха.

Сделайте маленькую паузу, не читайте дальше. Может, вам удастся и самим догадаться, как мудрецы вышли из положения?

Команда победителей придумала такую схему. Мудрец, стоящий последним, считал в уме количе­ство синих колпаков оставшихся девяти участни­ков, которых он видел. Если синих колпаков было нечётное число, он говорил, что его колпак синего цвета. А если их было чётное число, говорил, что его колпак красного цвета.

Конечно, угадать свой цвет он мог только слу­чайно. Зато следующий в шеренге участник уже об­ладал важной информацией. А именно, он знал, чёт­но или нечётно суммарное число синих колпаков на нём и впереди стоящих участниках. Тогда он подсчитывал, сколько синих колпаков находится перед ним. Если число выходило другой чётности, то при­чиной этому мог быть только синий колпак на его голове. А если число получалось той же чётности, то на нём был красный колпак. Мудрец произносил ответ, после чего уже и следующий участник мог определить цвет своего колпака, и так далее. При такой схеме мог пострадать только мудрец, стояв­ший последним, – ему в любом случае пришлось бы говорить просто наобум.

Верховный судья огласил задание третьего тура. На первый взгляд, оно почти не отличалось от преды­дущего: команды мудрецов выстраивали в шеренги, каждый пытался угадать цвет своего колпака (начиная с последнего мудреца в шеренге), допускалось не более одной ошибки... Но колпаки теперь были трёх цветов – синего, красного и зелёного. Мудрецам дали минуту посовещаться, но многие команды были в растерянности – как же договориться, чтобы цвет, названный последним в шеренге мудрецом, позволил остальным безошибочно угадывать цвет своего колпака? Тем не менее, одна из команд выдержала испытание, и её участники по праву были признаны победителями.

Отправляясь на третий тур, Квантик твёрдо решил самостоятельно найти ответ. И нашёл его. А потом Квантик задумался – а если бы хитрый су­дья предложил такое же испытание, но мудрецам на­ девали бы колпаки десяти разных цветов? Неужели они и тогда бы справились? Невероятно, но, оказыва­ется, да, и Квантик придумал, как могли бы действовать мудрецы. Попробуйте и вы это сделать. Удачи!